[Emberlit] Quaternion 곱 순서: 같은 회전이 왼쪽·오른쪽에 따라 월드·로컬이 되는 이유

TL;DR — 쿼터니언 r은 그 자체로 월드 회전도 로컬 회전도 아닙니다. r * q(왼쪽 곱)이면 월드로 나온 뒤 r이 작용하여 월드 축 기준 회전이 되고, q * r(오른쪽 곱)이면 월드로 나가기 전에 r이 작용하여 로컬 축 기준 회전이 됩니다. FPS 카메라에서 yaw를 왼쪽에, pitch를 오른쪽에 곱하는 이유가 여기서 나옵니다.

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들어가며
1. orientation 쿼터니언이 의미하는 것
2. 왼쪽 곱 — 월드 축 기준 회전
3. 오른쪽 곱 — 로컬 축 기준 회전
4. 핵심 인사이트 — r은 월드도 로컬도 아니다
5. FPS 카메라 예시
- 5.1 만약 pitch를 왼쪽에 곱하면?
정리하며
참고 자료

들어가며

쿼터니언으로 회전을 누적할 때, 같은 angleAxis 값을 왼쪽에 곱하느냐 오른쪽에 곱하느냐에 따라 결과가 완전히 달라집니다. 처음에는 “왼쪽 = 월드, 오른쪽 = 로컬”이라고 외웠지만, 왜 그런지를 수식으로 풀어보니 결합법칙에서 자연스럽게 도출되는 구조였습니다.

이 글에서는 column-vector 컨벤션(GLM)에서 쿼터니언 곱 순서가 공간 기준을 결정하는 원리를 수식으로 전개하고, FPS 카메라의 yaw/pitch를 예시로 정리했습니다.

이 글에서 다루는 내용:

orientation 쿼터니언 q가 의미하는 것
왼쪽 곱 r * q와 오른쪽 곱 q * r의 수식 전개
r 자체는 월드도 로컬도 아니라는 핵심 인사이트
FPS 카메라에서의 실제 적용

사전 지식: 쿼터니언의 기본 연산(켤레, 역, 회전 적용 $q \cdot v \cdot q^{-1}$ )과 GLM의 column-vector 컨벤션을 전제로 합니다.

1. orientation 쿼터니언이 의미하는 것

오브젝트의 현재 자세를 나타내는 orientation 쿼터니언 q는 identity에서 출발하여 회전을 누적한 결과입니다. q는 로컬 공간의 벡터를 월드 공간으로 변환하는 역할을 합니다:

v_\text{world} = q \cdot v_\text{local} \cdot q^{-1}

q가 identity이면 로컬과 월드가 일치하고, q에 회전이 쌓일수록 로컬 축이 월드 축에서 벗어납니다. 여기에 새로운 회전 r을 추가할 때, r을 어느 쪽에 곱하느냐에 따라 결과가 달라집니다.

2. 왼쪽 곱 — 월드 축 기준 회전

새 회전 r을 왼쪽에 곱하면 합성 쿼터니언은 r * q가 됩니다:

v_\text{world} = (r \cdot q) \cdot v_\text{local} \cdot (r \cdot q)^{-1}

역쿼터니언 성질 $(r \cdot q)^{-1} = q^{-1} \cdot r^{-1}$ 을 적용하면:

v_\text{world} = r \cdot q \cdot v_\text{local} \cdot q^{-1} \cdot r^{-1}

괄호로 실행 순서를 나타내면:

v_\text{world} = r \cdot \underbrace{(q \cdot v_\text{local} \cdot q^{-1})}_{\text{1단계: v를 월드로 보냄}} \cdot r^{-1}

안쪽: $q$ 가 $v_\text{local}$ 을 월드 공간으로 보냅니다
바깥쪽: $r$ 이 이미 월드에 있는 결과를 한 번 더 돌립니다

$r$ 은 월드 공간의 벡터에 작용하므로, $r$ 의 축은 월드 축 기준으로 해석됩니다.

3. 오른쪽 곱 — 로컬 축 기준 회전

새 회전 r을 오른쪽에 곱하면 합성 쿼터니언은 q * r이 됩니다:

v_\text{world} = (q \cdot r) \cdot v_\text{local} \cdot (q \cdot r)^{-1}

$(q \cdot r)^{-1} = r^{-1} \cdot q^{-1}$ 을 적용하면:

v_\text{world} = q \cdot r \cdot v_\text{local} \cdot r^{-1} \cdot q^{-1}

괄호로 실행 순서를 나타내면:

v_\text{world} = q \cdot \underbrace{(r \cdot v_\text{local} \cdot r^{-1})}_{\text{1단계: v를 로컬에서 돌림}} \cdot q^{-1}

안쪽: $r$ 이 $v_\text{local}$ 을 아직 로컬 공간에서 돌립니다
바깥쪽: $q$ 가 그 결과를 월드로 보냅니다

$r$ 은 월드로 나가기 전에 작용하므로, $r$ 의 축은 로컬 축 기준으로 해석됩니다.

4. 핵심 인사이트 — `r`은 월드도 로컬도 아니다

수식을 전개하면서 깨달은 점이 있습니다. r 자체에는 “월드 회전” 또는 “로컬 회전”이라는 성질이 없습니다. r은 단지 “어떤 축으로 얼마만큼 회전”이라는 정보일 뿐입니다.

곱하는 위치가 공간 기준을 결정합니다.

	왼쪽 곱 $r \cdot q$	오른쪽 곱 $q \cdot r$
$r$ 이 작동하는 시점	월드로 나온 후	월드로 나가기 전
$r$ 이 보는 공간	월드 공간	로컬 공간
결과	월드 축 기준 회전	로컬 축 기준 회전

이 구조는 결합법칙으로 자연스럽게 전개되는 것이지, 별도의 규칙을 외워야 하는 것이 아닙니다.

5. FPS 카메라 예시

FPS 카메라에서 yaw(좌우 회전)와 pitch(상하 회전)는 서로 다른 공간 기준이 필요합니다:

Yaw: 캐릭터가 어디를 보고 있든 항상 세상의 위쪽(월드 $Y$ 축) 기준으로 좌우를 돌려야 합니다
Pitch: 현재 바라보는 방향에서 자기 기준(로컬 $X$ 축)으로 위아래를 돌려야 합니다

GLM 코드로 표현하면 다음과 같습니다:

glm::quat orientation = glm::quat(1.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f); // identity

void rotateWorldY(float degrees) {
    glm::quat qYaw = glm::angleAxis(glm::radians(degrees), glm::vec3(0, 1, 0));
    orientation = glm::normalize(qYaw * orientation);  // 왼쪽 곱 → 월드 축
}

void rotateLocalX(float degrees) {
    glm::quat qPitch = glm::angleAxis(glm::radians(degrees), glm::vec3(1, 0, 0));
    orientation = glm::normalize(orientation * qPitch); // 오른쪽 곱 → 로컬 축
}

qYaw * orientation — qYaw가 왼쪽에 있으므로, 월드로 변환된 후에 작용합니다. 세상 기준 위쪽 축으로 몸 전체를 좌우로 돌립니다.
orientation * qPitch — qPitch가 오른쪽에 있으므로, 월드로 나가기 전에 작용합니다. 현재 몸체의 로컬 $X$ 축으로 고개를 든다/숙입니다.

같은 glm::angleAxis로 만든 회전이라도, 곱하는 위치가 공간 기준을 결정합니다.

5.1 만약 pitch를 왼쪽에 곱하면?

pitch를 qPitch * orientation으로 왼쪽에 곱하면 월드 $X$ 축 기준 회전이 됩니다. 카메라가 yaw로 90도 돌아간 상태에서 pitch를 적용하면, 카메라 기준 위아래가 아니라 세상 기준 $X$ 축으로 돌아가므로 의도와 다른 회전이 발생합니다.

정리하며

핵심 요약:

orientation q는 로컬 벡터를 월드로 보내는 변환입니다: $v_\text{world} = q \cdot v \cdot q^{-1}$
왼쪽 곱 r * q는 월드로 나온 후 r이 작용합니다 — 월드 축 기준 회전
오른쪽 곱 q * r은 월드로 나가기 전 r이 작용합니다 — 로컬 축 기준 회전
r 자체에 월드/로컬 속성이 있는 것이 아니라, 곱하는 위치가 해석을 결정합니다
이 구조는 결합법칙에서 자연스럽게 도출되므로, “왼쪽 = 월드” 규칙을 외우기보다 수식 전개를 한 번 따라가 보는 것을 권장합니다

참고 자료

3D Math Primer for Graphics and Game Development — 쿼터니언과 회전의 수학적 기초
GLM Documentation — glm::angleAxis, glm::quat 연산 레퍼런스

이 게시물은 학습한 내용을 바탕으로 초안을 작성한 뒤, LLM의 도움을 받아 내용을 검수하고 다듬어 완성되었습니다.